Stammend uit een muzikaal gezin studeerde Gautier Capuçon cello en piano aan onder meer het Conservatoire National Supérieur de Musique de Paris en de Universität für Musik und darstellende Kunst Wien. Maar het was de cello waarmee hij zijn grootste roem verwierf. Hij won diverse prijzen waaronder het André Navarra Cello Concours Toulouse in 1999 en de Borletti-Buitoni Trust Award in 2004. In 2001 was hij Nouveau talent de l'année van de Victoire de Musique. Diverse cd-opnames die hij maakte zijn bekroond met een Echo Klassik Award, waaronder een cd met het Celloconcert van Dvořák.
Gautier Capuçon werkte samen met gerenommeerde orkesten als de Wiener Philharmoniker, het Koninklijk Concertgebouworkest en het Philadelphia Orchestra. Als kamermusicus speelde hij met onder anderen Martha Argerich, Jean-Yves Thibaudet en natuurlijk zijn broer, violist Renaud Capuçon. In 2022 richtte hij zijn Foundation Gautier Capuçon op, die jonge getalenteerde musici in hun carrière op weg helpt.
Hoewel Gautier Capuçon een breed repertoire op zijn naam heeft staan, heeft hij een grote voorliefde voor hedendaagse muziek en gaf wereldpremières van componisten als Lera Auerbach en Thierry Escaich.
Gautier Capuçon vindt het heerlijk om in een orkest te spelen: